Kapat

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER
TANIMLAR :
a, b, c ( R ve a ( 0 olmak üzere ax2 + bx +c ( 0 denklemine, ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.
Bu denklemdeki a, b, c gerçel sayılarına katsayılar, x’e bilinmeyen denir.
Bu denklemi gerçekleyen gerçel sayılara denklemin gerçel kökleri, denklemin köklerini bulma işlemine denklemin çözümü denir.
Denklemin köklerinin kümesine de denklemin çözüm kümesi denir.

UYARI
Ayrıca belirtilmedikçe, denklemin çözüm kümesi denildiğinde, denklemin R deki çözüm kümesi
anlaşılacaktır.

İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLERİN ÇÖZÜMLERİ
İlk olarak ax2 + bx + c ( 0 denklemini çarpanlarına ayırarak çözebiliriz.


ÖRNEKLER :

Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.
1. 3x2 – 5x ( 0 2. x2 – x – 6 ( 0 3. 2x2 + x – 1 ( 0

ÇÖZÜMLER :
3x2 – 5x ( 0 2. x2 ( x ( 6 ( 0 3. 2x2 ( x ( 1 ( 0
x . (3x – 5) ( 0 (x ( 3) . ( x ( 2) ( 0 (x ( 1) . (2x ( 1) ( 0
x ( 0 V 3x – 5 ( 0 x ( 3 ( 0 V x ( 2 ( 0 x ( 1 ( 0 V 2x ( 1 ( 0
x (  x ( 3 x ( (2 x ( (1 x ( 
Ç ( { 0, } Ç ( {(2,3} Ç ( {(1,}

ax2 ( bx ( c ( 0 DENKLEMİNİN GENEL ÇÖZÜMÜ (FORMÜLLE ÇÖZÜM)
ax2 ( bx ( c ( 0 ikinci dereceden denklemi düzenlenirse
ax2 ( bx ( c ( a  ( a
(x’in katsayısının yarısının karesi eklenip çıkarıldı).
( 

( 

( a ( 0 ise

( ( 

 ( ( 

( 

o halde x1ve x2= elde edilir.
Bu kökler gerçel sayı ise b2 ( 4ac ( 0 olması gerekir.


TANIM :

ax2 + bx ( c ( 0 denkleminde b2 ( 4ac ifadesine denklemin diskriminantı denir ve ( ile gösterilir.

Denklemin kökleri ise x1 formülleri ile bulunur.

Bu kökler kısaca,  biçiminde yazılır.




İrdeleme: ax2 ( bx ( c ( 0 denkleminde ( ( b2 ( 4ac iken
( ( 0 ise denklemin birbirinden farklı iki gerçel kökü vardır.

Bunlar x1 ( dır.


UYARI
a ile c gerçel sayıları ters işaretli ise ( ( 0 dır.

( ( 0 ise denklemin birbirine eşit iki gerçel kökü vardır. Bu durumda denklemin çakışık iki kökü vardır ya da iki kat kökü vardır da denir.

Bunlar  dır.

( ( 0 olduğundan (ax2 ( bx ( c) ifadesi tamkare olur.

( ( 0 ise denklemin gerçel kökü yoktur. Denklemin R deki çözüm kümesi ( dir.

İNDİRGENMİŞ DİSKRİMİNANT (YARIM FORMÜL)

ax2 ( bx ( c ( 0 denkleminde b çift iken kullanılabilir. b’ ( Bu durumda, (’ ( (b’)2 ( ac

x1


ÖRNEKLER :
Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümlerini bulunuz.

1. x2 ( 3x ( 1 ( 0 2. 2x2 ( 3x ( 10 ( 0 3. x2 ( 2 


ÇÖZÜMLER :

x2 ( 3x ( 1 ( 0 2. 2x2 ( 3x ( 10 ( 0
a ( 1, b ( 3, c ( (1 a ( 2, b ( ( 3, c( 10
( ( (3)2 ( 4(1) ((1) ( 9 ( 4 ( 13 ( ( ((3)2 ( 4.2.10 ( 9 ( 80 ( (71
( ( 0 olduğundan Ç ( ( dir.
x1,2 ( 

Ç ( 


3.x2 ( 2( 3 ( 0
a ( 1, b ( (2 , c ( 3

b’ ( 

(’ (

x1,2 (

Ç ( 



İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLERE DÖNÜŞTÜRÜLEBİLEN DENKLEMLER:

ÇARPANLARINA AYRILABİLEN DENKLEMLER

P(x).Q(x) ( 0 ( P(x) ( 0 V Q(x) ( 0


ÖRNEKLER :
Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.
1. 2x3 ( 3x2 ( 18x ( 27 ( 0 2. 3(x ( 4)2 ( 48 ( 0
ÇÖZÜMLER :
2x3 ( 3x2 ( 18x ( 27 ( 0 2. 3(x ( 4)2 ( 48 ( 0

x2 (2x ( 3) ( 9(2x ( 3) ( 0 3[(x ( 4)2 ( 16] ( 0 ( (x ( 4)2 ( 42 ( 0
(2x ( 3) (x2 ( 9) ( 0 (x ( 4) ( 4 ( 0 V (x ( 4) ( 4 ( 0
(2x ( 3) . (x ( 3) (x ( 3) ( 0 x ( 8 ( 0 x ( 0
2x ( 3 ( 0 V x ( 3 ( 0 V x ( 3 ( 0 x ( 8
x ( ( x ( 3 x ( (3 Ç ( {0, 8}
Ç ( 





B) RASYONEL DENKLEMLER
 ( 0 ( P(x) ( 0 ( Q(x) ( 0

ÖRNEK:
 denkleminin çözüm kümesi nedir?

ÇÖZÜM:

(1) (2x ( 1) (x ( 4) (2x ( 1) (x ( 4)

27 ( 4x2 ( 2x ( 6x ( 24 ( 2x2 ( 7x ( 4
6x2 ( x ( 1 ( 0 ( (2x ( 1) (3x ( 1) = 0
x ( x ( Ç (

C) YARDIMCI BİLİNMEYEN KULLANILARAK ÇÖZÜLEN DENKLEMLER
(DEĞİŞKEN DEĞİŞTİRME)


ÖRNEK: x6 ( 26x3 ( 27 ( 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?


ÇÖZÜM:

x3 ( t olsun x6 ( (x3)2 ( t2 olur.

Buradan denklem
t2 ( 26t ( 27 ( 0 biçimine dönüşür.
( (t ( 27) . (t ( 1) ( 0
t ( 27 ( 0 V t ( 1 ( 0
t ( (27 t ( 1
x3 ( (27 x3 ( 1
x ( (3 x ( 1

Ç ( {(3,1}


D) KÖKLÜ DENKLEMLER

n ( N+ ve P(x) ( R[x] olmak üzere

 ifadesi (x ( R için tanımlıdır
 ifadesi, P(x) ( 0 koşulunu gerçekleyen x’ler için tanımlıdır.

Köklü denklemler çözülürken genelde şu yol izlenir:

Köklü ifade ( ya da köklü ifadelerden birisi) eşitliğin bir yanında yalnız bırakılır.
Her iki taraf uygun kuvveti alınarak, denklem kökten kurtarılır.
Kökten kurtulmuş denklem çözülerek bulunan çözümlerin yukarıda belirtilen koşullara uygun olup olmadığına ya da denklemi sağlayıp sağlamadığına bakılarak denklemin çözüm kümesi bulunur.

ÖRNEK:
 denkleminin çözüm kümesi nedir?

ÇÖZÜM:
 eşitliğinin sağlanması için,
x ( 6 ( 0 ve x ( 4 ( 0 ( x ( (4 olmalıdır.

x ( 6 = x2 ( 8x ( 16 ( x2 ( 7x ( 10 ( 0
(x ( 5) (x ( 2) ( 0 ( x ( (5 V x ( (2
( Ç ( {(2}


E) ÜSLÜ DENKLEMLER

ÖRNEK:
 denkleminin çözüm kümesi nedir?

ÇÖZÜM:
 dir.
(x(3) (x(2) ( 0 ( x ( 3 ( 0 V x ( 2 ( 0
( x ( (3 x ( 2
Ç ( {(2, 3}

F) MUTLAK DEĞERLİ DENKLEMLER
Mutlak değerli ifade içeren bir denklemi çözmek için yapılacak ilk işlem, gerçel sayılarda mutlak değer tanımını kullanarak mutlak değeri kaldırmaktır. Bunu şöyle açıklayabiliriz.
n ( N(


ÖRNEK:
x2 ( |x|( 2 ( 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?



ÇÖZÜM:
x2 ( |x| ( 2 ( 0
x2 ( ((x) ( 2 ( 0
x2 ( x ( 2 ( 0
(x ( 2) . (x ( 1) ( 0
x ( (2 x ( 1
Ç1 ( {(2}
x ( 0 ( |x| ( x dir.
x2 ( x ( 2 ( 0
(x ( 2) (x ( 1) ( 0
x ( 2 V x ( (1
Ç2 ( {2}
Denklemin çözüm kümesi ise Ç ( Ç1 ( Ç2 dir. Buradan Ç = {(2, 2} bulunur.
DENKLEM SİSTEMLERİ

ÖRNEK:
sisteminin çözüm kümesi nedir?

ÇÖZÜM:
x ( y ( 20 ( y ( 20 ( x, x .y ( 64 ( x . (20 ( x) ( 64
20x ( x2 ( 64 ( x2 ( 20x ( 64 ( 0
( (x ( 16) (x ( 4) ( 0, x1 ( 16 V x2 ( 4
( y1 ( 20 ( 16 ( y2 ( 20 ( 4
y1 ( 4 y2 ( 16
Ç ( {(16, 4) , (4, 16)}


ÖRNEK:
sisteminin çözüm kümesi nedir?

ÇÖZÜM:

2x ( 3y ( 12 ( 




Ç ( 

PAREMETRELİ DENKLEMLER
İçinde x değişkeninden başka sabit ya da sabitler bulunan denklemlere parametreli denklemler denir.
Örneğin; mx2 ( (m ( 1)x ( 2m ( 3 ( 0 denklemindeki parametre m ; 2x2 ( (a ( b)x ( a . b ( 0 denklemindeki parametreler a ve b dir.

ÖRNEK:
(m ( 3)x2 ( 2mx ( 3(m ( 1) = 0 denkleminin köklerinden birisi ((1) ise m kaçtır?

ÇÖZÜM:
(m ( 3)x2 ( 2mx ( 3(m ( 1) ( 0
x ( (1 için (m ( 3) ((1)2 ( 2m((1) ( 3(m ( 1) ( 0
m ( 3 ( 2m ( 3m ( 3 ( 0
6m ( 6 ( m ( 1

ÖRNEK:
mx2 ( 2(m ( 1)x ( m ( 5 ( 0 denkleminin birbirine eşit iki kökünün olabilmesi için (m) kaç olmalıdır?
ÇÖZÜM:
x1 ( x2 ise ( ( 0 olmalıdır.
( (b’)2 ( ac ( 0 ( [ ( (m ( 1)]2 ( m(m ( 5) ( 0
m2 ( 2m ( 1 ( m2 ( 5m ( 0 ( m (

UYARI
İkinci dereceden bir bilinmeyenli iki denklemin birer kökleri aynı (ortak) ise, bu iki denklemdeki x2 li terimler yok edilir. Bulunan x değeri, denklemlerin ortak kökü olur.

ÖRNEK:
 denklemlerinin çözüm kümesi eşit ise (m, n) ikilisi nedir?

ÇÖZÜM:
Çözüm kümeleri eşit ise denklemlerde birbirine eşit olmalıdır.
3 / 2x2 ( (n ( 1)x ( m ( 6 ( 0
2 / 3x2 ( 2x ( 2m ( 1 ( 0
 (
(3(n( 1) ( (4 ve (3m ( 18 ( 4m ( 2
 7m ( 20
 m ( 
İKİNCİ DERECEDEN BİR DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KATSAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR
ax2 ( bx ( c ( 0 denkleminin diskriminantı ( ( b2 ( 4ac ve kökleri  ve  idi.
Buna göre ;
Köklerin toplamı :
Köklerin çarpımı : 
Köklerin farkı : 
Köklerin çarpma işlemine göre terslerinin toplamı : 
Köklerin karelerinin toplamı : 

6. Köklerin karelerinin çarpma işlemine göre terslerinin toplamı :


7. Köklerin küplerinin toplamı : 

Köklerinin küplerinin çarpma işlemine göre terslerinin toplamı : 

ÖRNEK:
2x2 ( 4x ( m ( 3 ( 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
x12 ( x22 ( 4 ise m kaçtır?

ÇÖZÜM:
Denklemde a ( 2, b ( (4, c ( m ( 3 dür.
x12 ( x22 ( 4 ( (

16 ( 4m ( 12 ( 16
m ( 3

ÖRNEK:
2x2 ( 7x –1 ( 0 denkleminin köklerinin 3 er eksiğinin çarpımı kaçtır?

ÇÖZÜM:
Denklemin kökleri x1, x2 olsun.
İstenen bağıntı (x1 ( 3) . (x2 ( 3) dür.
Buna göre;
(x1 ( 3) . (x2 ( 3) ( x1x2 ( 3x1 ( 3x2 ( 9
( x1 . x2 (3 . (x1 ( x2) ( 9 ( 
(  olur.

KÖKLERİ VERİLEN DENKLEMİ BULMAK
Kökleri x1, x2 olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler, (x ( x1) . (x ( x2) ( 0 biçimindedir. Bu denklem düzenlenirse, x2 ( (x1 ( x2) . x ( (x1 . x2) ( 0 denklemi elde edilir.

ÖRNEK:
Kökleri (3 ile 2 olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem nedir?

ÇÖZÜM:
olduğundan denklem,
x2 ( (x1 ( x2) . x ( (x1 . x2) ( 0 ( x2 ( ((1) . x ( ((6) ( 0
( x2 ( x ( 6 ( 0 dır.

UYARI
a, b, c, p, q ( Q olmak üzere ax2 ( bx ( c ( 0 denkleminin bir kökü x1 ( p (  ise x2 ( p (  dur.

ÖRNEK:
Katsayıları rasyonel sayı olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklemin köklerinden birisi x1 ( 3 (  dir. Bu denklem nedir?

ÇÖZÜM:
Buna göre x1 ( 3 ( ise x2 ( 3 ( dür.

 dir.
Denklem, x2 ( (x1 ( x2)x ( (x1 . x2) = 0
x2 ( 6x ( 7 (0 olur.



ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

1. (a ( R için aşağıdakilerden hangisi ikinci dereceden denklemdir?

( a+3) x2 + 2x +5 =0
(a2 – 4) x2+x –1 = 0
ax2+5x+1 =0

(a2+1)x2+5x – a = 0

ÇÖZÜM:

Seçenekler incelendiğinde,
a= -3 için olmaz
a= 2 ( a = -2 için olmaz.
A= 0 için olmaz
A= 1 için olmaz .
a(R dir.
Doğru Seçenek E


2. (a+ 2)x3+x2-x+a=0 denklemi ikinci dereceden bir denklem olduğuna göre, köklerin biri kaçtır?

ÇÖZÜM :
A= - 2 için denklem ikinci derece denklem olur.
X2 – x –2 = 0
( x+1) ( x-2) =0
x1= -1 , x2= 2


3. 4x2 – 15x + 2 = 0 Denkleminin köklerini bulunuz.

ÇÖZÜM :
A= 4, b= -15 , c= 2
( = 193,  olur.

4. x2+ 7x –m =0 denkleminin gerçek köklerinin olmaması için m hangi koşulu sağlamalıdır?

ÇÖZÜM:
( ( 0 olmalı.
A= 1, b= 7, c= -m
olur.





5. 2x2-3x+k=1 denkleminin gerçek köklerinin olması için k hangi koşulu sağlamalıdır?

ÇÖZÜM:
( ( 0 olmalı.
A=2, b= -3, c= k-1
olmalı.



6. 7x2 –13x +k +8 =0 denkleminin denkleminin kökleri çakışık olduğuna göre, bu denklemin köklerini bulunuz.

ÇÖZÜM:
 olur.


7.7x2 +9kx –2 =0 denkleminin bir kökü 2 ise k yı bulunuz.

ÇÖZÜM :
Kök denklemi sağlayan değerdir.
X=2 için 7.4 + 18k –2 = 0 

8.11x2-26x+15 =0 denkleminin köklerini bulunuz?

ÇÖZÜM:
11x2- 26x +15 = 0

11x -15
x -1
(11x-15) ( x-1)=0

olur.

9. x2+ax +b =0 ve 2x2+ ( b+1).x +a =0 denklemlerinin çözüm kümelerinin eşit olması için a+b kaç olmalıdır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

ÇÖZÜM:
İki denklemin çözüm kümelerinin eşit olması için aynı dereceli katsayıları orantılı olmalıdır.

Doğru seçenek A






10. I. x2 +ax +1 =0
II. 2x2+ (2a+1).x –1 =0
Denklemlerinin birer kökleri eşittir.
I.denklemin diğer kökü kaçtır?
A) 1 B)  C)  D) 0 E) –1


ÇÖZÜM :
Eşit kök x1olsun.
((x1=3
I.denklemde x1 =3 ( yerine yazılırsa
 düzenlenirse,
 olur.
Doğru seçenek C


11. x2-2mx + m2 +2m-4 =0denkleminin eşit iki kökü olması için m kaçtır?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

ÇÖZÜM:
( = 0 Olmalı
( = 4m2-4(m2 +2m –4) =0
m=2 0lur.
Doğru seçenek B


12. (x2-9 ) ( x3-16x) =0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

ÇÖZÜM :





13. ( x2-3x )2 – 16 =0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
ÇÖZÜM :







14. denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

ÇÖZÜM:


Paydayı sıfır ifadeyi tanımsız yapar.
Ç=( -3(


15. 

denkleminin çözüm kümesini bulunuz

ÇÖZÜM:




16. x4-x2-12 =0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

ÇÖZÜM:
1.yol:


2.yol : x2 =t olsun.

T2 – t –12 =0
T +3
( t=-3 t=4
T -4 ( olamaz)

X2 = 4 ( Ç= ( -2,2( olur.


17. (x2 –2x)2 –2(x2-2x)-15 =0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

ÇÖZÜM :

( x2 –2x) – 2 ( x2 –2x )-15 =0
(x2 –2x) +3
(x2 –2x) -5
(x2-2x+3) ( x2 –2x –5 ) =0
Ç= (
X2-2x –5 =0



18. 
Denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

ÇÖZÜM:





19.x1/2 – x1/4 –6 =0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

ÇÖZÜM :






20.  denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

ÇÖZÜM:





21.  denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

ÇÖZÜM:


x2= 2
Ç= (-1,2 ( dir.


22.denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

ÇÖZÜM:
x(4 ( x2-4x-5=0, x1= -1 ( olamaz). Xz =5
x -5
x +1
x( 4( x2-4x+5 =0
Ç= (

Ç= (5(



23.  denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

ÇÖZÜM:





24. y-x2 =0
y - x –2 =0
denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz.

ÇÖZÜM:

y= x2 ikinci denklemde yerine konursa,
x2- x – 2 =0
x +1
x -2



25.  denkleminin kökleri toplamı 11 ise, kökleri çarpımını bulunuz.

ÇÖZÜM:

Kökler x1 ve x2olsun.



26.  denkleminin köklerinin tersleri toplamı  ise m yi bulunuz.

ÇÖZÜM:




27. denkleminin kökleri kareleri toplamı8 ise k yı bulunuz.

ÇÖZÜM:







28. denkleminin kökleri x1,x2 dir. ise m yi bulunuz.

ÇÖZÜM:


29. denkleminin kökleri x1=x22olması için a yı bulunuz.

ÇÖZÜM:




30. denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. ifadesinin değerini bulunuz.

ÇÖZÜM:



31. 
denklemleri veriliyor.
2.denklemin köklerinin 1. denklemin köklerinden birer fazla olması için b sayısını bulunuz.

ÇÖZÜM:

denklemin kökleri x1,x2
denklemin kökleri x1, x2 olsun.






32. ve bolmak üzere denkleminin kökleri 2x1,3x2dir.
a+b yi bulunuz.
ÇÖZÜM:


33. x2 ( x ( |1(x| ( 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?
ÇÖZÜM:

x(x(1) ( (x(1) ( 0
(x ( 1) (x ( 1) (0
x ( 1
Ç ( {1}
34.  denkleminin köklerinin çarpımı kaçtır?
ÇÖZÜM:

 olsun.

( t ( 3 V t ( 2
 
6x ( 3 ( x ( 3 x ( 3 ( 4x ( 2
 


35.  0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. |x1 ( x2| nedir?
ÇÖZÜM: -

x1 = 21 x2 ( 5
|x1 ( x2| ( |21 ( 5| ( 16

36. 3x ( 1 ( 3x ( 2 ( 3x ( 3 ( 3x ( 4 ( 768 denklemini sağlayan x değeri nedir?
ÇÖZÜM:

37.  sistemini sağlayan y değeri nedir?
ÇÖZÜM:

x ( y ( z ( 19 ( (x ( z)2 ( (19 ( y)2
x2( z2 ( 2xz ( 361 ( 38y ( y2
133 ( y2 ( 2y2 ( 361 ( 38y ( y2
38y ( 228 ( y ( 6

38.Köklerinden birisi  ( 2 olan rasyonel katsayılı ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem nedir?
ÇÖZÜM:
 ise
x2 ( (2 (  dir.

( 4 ( 3 ( 1
Denklem,
x2((x1 ( x2)x ( (x1 . x2) ( 0
x2 ( ((4)x ( 1 ( 0
x2 ( 4x (1 ( 0 olur.
39. mx2 ( 2(m ( 2)x ( m ( 3 = 0 denkleminin kökleri x1, x2 dir. x1 ( x2 ( s ve x1 . x2 ( p olmak üzere, bu denklemin kökleri arasında m’ye bağlı olmayan bağıntı nedir?
ÇÖZÜM:
mx2 ( 2(m ( 2)x ( m ( 3 = 0

bulunur.
40. 3x2 ( mx ( 6 ( 0 denkleminde  bağıntısı varsa m kaçtır?
ÇÖZÜM:
Bu denklemde,
4 ( x1x2 ( 8x1 ( 4 ( ((2) ( 8x1 ( x1 ( 
x1 . x2 ( -2 (  . x2 ( (2 ( x2 ( (8 ( x1 ( x2 ( 

41.6x2 ( 11mx ( 10m2 ( 0 ise  nedir?
ÇÖZÜM:

2x (5m
3x 2m
(2x ( 5m) (3x ( 2m) ( 0 ise


42.2x2 ( x ( m ( 2 = 0 denkleminin x1 ve x2 kökleri arasında  bağıntısı varsa, m tam sayısı nedir?
ÇÖZÜM:

1 ( 4m ( 8 ( 5m2 ( 20m ( 20
5m2 ( 24m ( 27 ( 0
(5m ( 9) (m ( 3) ( 0
Ç ( 

43. (a + 1)x2 –2(a + 7)x + 27 = 0 a ? -1 olmak üzere
denklemin kökleri eşit olduğuna göre, a’ nın alabileceği değerler toplamı kaçtır? (1998 / ÖSYS)

ÇÖZÜM:
(a + 1)x2 –2(a + 7)x + 27 = 0
denklemin kökleri eşit ise ? = 0 olmalıdır.
? = 4. (a + 7)2 –4 . 27 . (a + 1)
0 = a2 + 14a + 49 – 27a –27
a2 - 13a + 22 = 0
Bu denklemi sağlayan a değerlerinin toplamı

a1 + a2 = = 13 olur.

44.ax3 + 3x2 + 4x3 –ax –2 = 0
Denklemi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olduğuna göre, a kaçtır?

ÇÖZÜM:
ax3 + 3x2 + 4x3 –ax –2 = 0
(a+4)x3 + 3x2 –ax –2 = 0
Denkleminin ikinci dereceden bir denklem olması için denklemde x3 lü terim olmamalıdır.
O halde, a + 4= 0 => a= -4 olur.


45. x2 –ax +6 =0 denkleminin kökleri arasında 9x1x22+3x13+9x12x2+3x23=1029 bağıntısı olduğuna göre a kaçtır?

ÇÖZÜM:
3x1x22+x13+3x12x2+x23=343
(x1+x2)3=343
x1+x2=7
x1+x2 =a
a=7

46. olduğuna göre  nin pozitif değeri kaçtır?

ÇÖZÜM:





t1=(t1= olur buda pozitif değeridir. Diğer kök negatif değerdir.


47.9x-28.3x+27=0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

ÇÖZÜM:
3X=t olsun
(3x)2 –28.3x +27=0 ( t2 –28t +27=0
(t-1).(t-27)=0
t=1 t=27

t=1( 3x = 1 t=27( 3x =27
x = 0 x=3

Ç={0,3}



48. a+b?0 o.ü


denkleminin köklerinin çarpımı aşağıdakilerden hangisidir?

A)ab B) C) –ab D) - E) -

ÇÖZÜM:




x(a+b+x) = -ab
x(a+b)+x2 = -ab
x2+(a+b)x+ab = 0
kökler çarpımı== ab
Doğru seçenek A































İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ EŞİTSİZLİKLER :

a , b , c € R ve a ? olmak üzere
ax2 + bx + c > 0 , ax2 + bx + c ? 0
ax2 + bx + c < 0 , ax2 + bx + c ? 0

şeklindeki ifadelere ikinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlikler denir. Çözüm kümesi bulunurken :
Önce ax2 + bx + c = 0 denkleminin reel köklerinin olup olmadığına bakacağız.
Köklerin varlığı ; ? = b2 – 4ac ya bağlı olduğundan 3 madde halinde inceleyeceğiz.

1. ? = b2 – 4ac > 0 ise x1 ve x2 gibi birbirinden farklı iki farklı reel kök var.
( x1 < x2 ) olsun .
Kökler küçükten büyüğe doğru tabloya yerleştirilir.
Kökler arası a nın işaretinin tersi
Kökler dışı a nın işaretinin aynı
Bunu tablo ile gösterirsek

x - ? x1 x2 + ?
a nın işaretinin a nın işaretinin a nın işaretinin
ax2+ bx +c aynı tersi aynı

2. ? = b2 – 4ac = 0 ise x1 = x2 ( kökler çakışık )
Bu durumda f (x ) = ax2 + bx + c nin işareti f ( x ) in sıfır olduğu değer dışında a ile aynı olur.
Tablo ile gösterirsek

x - ? x1 = x2 + ?

ax2 + bx + c a nın işaretinin a nın işaretinin
aynı aynı

3. ? = b2 – 4ac < 0 ise ax2 + bx +c = 0 denkleminin reel kökü yoktur.
f ( x ) = ax2 + bx +c nin işareti her x sayısı için a nın aynı olur.
Tablo ile gösterirsek

x - ? + ?
ax2 + bx + c a nın işaretinin aynı
















ÖRNEK :
x2 – x – 6 ? 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir ?
ÇÖZÜM :
x2 – x – 6 ? 0
x2 – x – 6 = 0 ise ( x – 3 ) ( x + 3 ) = 0
x = 3 ve x = -2
a = 1 > 0 a nın işareti ( + )
işaret tablosunu yapalım.

x - ? -2 3 + ?

x2 – x – 6 ? 0 + +

Ç . K.

Ç . K. = [- 2 , 3 ] bulunur.

ÖRNEK :

x2 – 3x – 4 ? 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir ?

ÇÖZÜM :

x2 – 3x – 4 ? 0
x2 – 3x – 4 = 0 ise ( x – 4 ) ( x + 1 ) = 0
x = 4 ve x = -1

a = 1 > 0 anın işareti ( + )
işaret tablosunu yapalım.


x - ? -1 4 + ?

x2+ 3x -4 ? 0 ___

Ç . K Ç . K .


Ç. K. = ( - ? , -1 ] U [ 4 , ? )
Ç. K = R \ ( -1 , 4 ) bulunur.

ÖRNEK :

x2 < 3x + 10 eşitsizliğini sağlayan x tamsayılarının toplamı kaçtır ?

ÇÖZÜM :

x2 < 3x + 10
x2 – 3x – 10 < 0
x2 – 3x – 10 = 0 ise ( x – 5 ) ( x + 2 ) = 0
x = 5 ve x = -2

a = 1 > 0 a nın işareti ( + )
Tablosunu yapalım

x - ? -2 5 +?

x2- 3x – 10 < 0 + +

Ç. K.

Ç. K. : -2 < x < 5
x tamsayılarının toplamı = -1 +0 +1 + 2 + 3 + 4 = 9 bulunur.



ÖRNEK :
2x2 > 13x – 6 eşitsizliğini sağlayan x tamsayılarının toplamı kaçtır ?

ÇÖZÜM :

2x2 > 13x – 6
2x2 – 13x + 6 > 0
2x2 – 13x + 6 = 0 ise ( 2x – 1 ) ( x- 6 ) = 0
x = 1 ve x = 6
2
a = 2 >0 a nın işareti ( + )
İşaret tablosunu yapalım

1
x - ? 2 6 + ?

2x2 – 13x + 6 > 0 __

Ç.K. Ç.K
Ç.K. : - ? < x < 1 V 6 < x < ?
2
x tamsayılarının toplamı
= 0 – 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9 – 10 ..….. + 7 + 8 + 9 + 10 …….
= - 1 – 1 – 3 – 4 – 5 – 6
= - 21 bulunur.
ÖRNEK :
Karesinin 35 eksiği kendisinin 2 katından küçük olan kaç tane doğal sayı vardır ?
ÇÖZÜM :
Sayı x olsun.
Karesinin 35 eksiği = x2 – 35
Kendisinin 2 katı = 2x
x2- 35 < 2x
x2 – 2x – 35 < 0
x2 – 2x – 35 = 0 ise ( x – 7 ) ( x + 5 ) = 0
x = 7 ve x = -5
a = 1 > 0 a nın işareti ( + )
İşaret tablosunu yapalım.


x - ? -5 7 + ?

x2 – 2x – 35 < 0 + +

Ç.K.

Ç. K. : -5 < x < 7
x € N olduğundan
x = { 0 ,1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } olmak üzere
7 tane doğal sayı vardır.

ÖRNEK :

x2 + ( m + 4 )x + 15 ifadesinin daima 6 dan büyük olmasını sağlayan kaç tane m tamsayısı vardır.

ÇÖZÜM :

Daima ax2 + bx + c > 0 olması için
? < 0 ve a < 0 olmalı .
x2 + ( m + 4 )x + 15 > 6
x2 + ( m + 4 )x + 9 > 0
a = 1 > 0
? = b2 – 4ac = ( m + 4 )2 – 4 . 1 . 9 < 0
( m + 4 )2 – 36 < 0
m2 + 8m – 20 < 0
m2 + 8m – 20 = 0 ise
( m + 10 ) ( m – 2 ) = 0
m = - 10 , m = 2


x -? -10 2 + ?

m2 + 8m – 20 <0 + +

Ç.K.

Ç.K. = -10 < m < 2
m tamsayıları : 2 – ( - 10 ) – 1 = 2 + 10 – 1
= 11 tanedir .





















ÖRNEK :

x € R için
( 1 – a ) x2 + x – 4 < 0 ise a ne olmalıdır ?

ÇÖZÜM :

x € R olduğu için ( 1 – a ) x2 + x – 4 < 0 olması için,
1. 1- a < 0 1 < a olmalıdır.
2. ? = b2 – 4ac < 0 olmalıdır
( 1 ) 2 – 4 . ( 1 – a ) . ( - 4 ) < 0
1 + 16 – 16a < 0
17 < 16a
17 < a bulunur.
16




















İKİNCİ DERECEDEN FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ
a,b,c,z  R ve a 0 olmak üzere,
F : R R1 f(x) = ax2 + bx + c şeklinde tanımlanan fonksiyonlara ikinci dereceden bir değişkenli fonksiyonlar denir. Bu tür fonksiyonların grafikleri parabol adı verilen eğrilerdir.
f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunda b = 0 ve c = 0 alınırsa f(x) =ax2 fonksiyonu elde edilir. Şimdi de bu fonksiyonun grafiğini çizelim.
y = f(x) = ax2 fonksiyonunda x in her değeri için y nin aldığı değerler hesaplanabilir. Ancak, kabaca çizim yapabilmek için x in aldığı değişik değerlere karşılık y nin alacağı değerleri gösteren tablo yapılarak grafik çizilir.
y = f(x) = ax2 ve a > 0 ise,


















a > 0 ve  olduğundan parabolün kolları Oy eksenin pozitif yönündedir. Bu durumda parabolün en alt noktası olan O(o,o) noktasına parabolün tepe noktası denir.


y = f(x) = ax2 ve a < 0 ise,
















a > 0 ve  olduğundan parabolün kolları Oy eksenin negatif yönündedir. Bu durumda parabolün en üst nokrası olan O(o, o) noktası probolün tepe noktasıdır.
Burada,
(-2,4a) ile (2,4a) ve (-1,a) ile (1,a) noktaları Oy eksenine göre simetriktir. O halde Oy ekseni (x= 0 doğrusu) f(x) = ax2 parabolünün simetri eksenidir.
Örnek :
y1 = x2, y2 = 2x2 ve y3 = 4x2 parabollerini aynı analitik düzlemde çizelim.












Örnek :
y1 = - x2, y2 = - 2x2 ve y3 = - 4x2 parabollerini aynı analitik düzlemde çizelim.









SONUÇ:
f(x) = ax2 + bx + c de,
| a | büyüdükçe parabolün kolları Oy eksenine yaklaşır (kollar daralır).
| a | küçüldükçe parabolün kolları Oy ekseninden uzaklaşır (kollar açılır).
SORU 1
Aşağıdaki şekilde y = 2mx2 parabolü verilmiştir. [OA] ( [AB], [AB] = 2|OA| ve |OB| = birim olduğuna göre, m kaçtır?








A)  B)  C) 2 D) 4 E) 8
Çözüm :
|OA| = a olsun. |AB|=2a olur. OAB dik üçgeninde Pisagor bağıntısı uygulanırsa,
a2 + (2a)2 =


O halde B(a, 2a) olduğundan  olur. Bu nokta parabolün denklemini sağlayacağından,


SORU 2 :
Aşağıdaki şekilde parabolü verilmiştir. OABC karesinin alanı kaç birim karedir?









A)  B)  C) 1 D) 2 E) 4
Çözüm :
OABC karesinin bir kenarının uzunluğu k birim olsun. Bu durumda B noktasının apsisi ve ordinatı k olur. B(k, k) noktası parabol üzerinde olduğundan parabolün denklemini sağlar. O halde,


Cevap : E
f(x) = ax2 + bx + c Fonksiyonunun Grafiği:
f :R R, y = f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun grafiğini (parabol) çizebilmek için yapılması gereken işlemleri sıralayalım.
Parabolün kıllarının yönü tespit edilir:
a > 0 ise parabolün kolları Oy eksenin pozitif yönünde,
a < 0 ise parabolün kılları Oy eksenin negatif yönündedir.
Örnek:
y = f(x) = x2 – 4x + 3 parabolünün kolları
a = 1 > 0 olduğundan Oy ekseninin pozitif yönündedir.
Parabolün tepe noktasının koordinatları bulunur:
ax2 + bx c üç terimlisi tam kare yapılırsa,
f(x) = ax2 + bx + c
= a(x +
Burada,

f(x) = ax2 + bx + c a(x – r)2 + k parabolünün T(r, k) tepe noktasının koordinatları,


Örnek :
Y = x2 – 4x + 3 parabolünün tepe noktasının koordinatları,


Buradan T(2, -1) dir.
Uyarı:
f(x) = ax2 + bx + c parabolünün tepe noktası T(r, k) olmak üzere, bu nokta probolün denklemini sağlayacağından,
k = f(r) olarak da bulunabilir.
3) Parabolün Ox eksenini kestiği noktaların (varsa) koordinatları bulunur:
Parabolün Ox eksenini kestiği noktaların ordinatı y = 0 olduğundan,
y = ax2 + bx + c = 0 olur. Bu denklemin reel kökleri (varsa) x1,x2 olsun.
( > 0 ise parabol, Ox eksenini (x1, 0) ve (x2, 0) gibi farklı iki noktada keser.
( = 0 ise parabol, Ox eksenine teğettir.
( < 0 ise parabol, Ox eksenini kesmez.
Örnek :
y = x2 – 4x + 3 parabolü için ( = b2 – 4ac = 4 > 0 olduğundan parabol, Ox eksenini farklı iki noktada keser. Bu noktalar,
y = x2 –4x + 3 = 0 x = 1 veya x = 3 olduğundan (1,0) ve (3,0) dır.
4. Parabolün Oy eksenini kestiği noktanın koordinatı bulunur:
Parabolün Oy eksenini kestiği noktanın apsisi x = 0 olduğundan ordinatı y = c olur. Buna göre, Parabol, Oy eksenini (0,c) noktasında keser.
Örnek:
y = x2 – 4x + 3 parabolünün Oy eksenini kestiği nokta,
x = 0 için y = 3 olduğundan (0,3) tür.
Yukarıdaki işlemlerin sonucunda parabol çizilir.
















y = x2 – 4x + 3 parabolü yanda çizilmiştir.
Örnek:
f(x) = - x2 + 2x + 3 parabolünü çizelim.
A = -1 < 0 olduğundan parabolün kolları Oy eksenin negatif yönündedir.
Parabolün tepe noktasının koordinatları,

parabolün eksenleri kestiği noktalar, y = 0 için – x2 + 2x + 3 = 0
 olduğundan (-1, 0) ve (3, 0) dır. x = 0 için y = 3 olduğundan (0, 3) tür.













Örnek :
f(x) = 2(x + 1)2 + 2 parabolünü çizelim.
y = a(x –r)2 + k ifadesinden,
a = 2 > 0 olduğundan parabolün kolları Oy ekseninin pozitif yönündedir.
Parabolün tepe noktasının koordinatları,
r = -1 ve k = 2 T(-1, 2) olur.
Parabolün eksenleri kestiği noktalar, y = 0 için 2(x + 1)2 + 2 = 0( < 0 olduğundan parabol Ox eksenini kesmez, x = 0 için y = 4 olduğundan (0, 4) bulunur.














Örnek :
f(x) = - x2 – 2x –1 parabolünü çizelim.
y = - x2 – 2x – 1 fonksiyonu y = - (x + 1)2 şeklinde düzenlenirse y = a(x – r)2 + k ifadesinden,
a = -1 < 0 olduğundan parabolün kolları Oy eksenin negatif yönündedir.
Parabolün tepe noktasının koordinatları,
r = -1 ve k = 0 T(-1,0) olur.
Parabolün eksenleri kestiği noktalar,
y = 0 için –x2 – 2x – 1 = 0  x1 = x2 = -1 olduğundan (-1, 0), x = 0 için y = -1 olduğundan (0, -1) bulunur.









Örnek :
Y = x2 + 2 parabolünü çizelim.
Y = a(x – r)2 + k ifadesinden,
A = 1 > 0 olduğundan parabolün kolları Oy eksenin pozitif yönündedir. Parabolün tepe noktasının koordinatları,
R = 0 ve k = 2  T (0,2) olur.
Parabolün eksenleri kestiği noktalar, y = 0 için x2 + 2 = 0 ( < 0 olduğundan parabol Ox eksenini kesmez, x = 0 için y = 2 olduğundan (0,2) bulunur.
















Sonuçlar:
y = ax2 + bx + c parabolünün simetri ekseni 












|AR| = |RB|, |CQ| = |QD|, |EP| = |PF|, ...
2. y = ax2 + bx + c parabolünün Ox eksenini kestiği noktaların apsisleri x1 ve x2 olsun.

3. a > 0 ise f(x) = ax2 + bx + c parabolünün tepe noktası en alt noktası olduğundan f(x) in olabileceği en küçük değer,

a > 0 ise f(x) = ax2 + bx + c probolünü tepe noktası en üst noktası olduğundan f(x) in alabileceği en büyük değer,

4. y = ax2 + bx + c = a(x-r)2 + k fonksiyonunda,
ise tepe noktası, T(r,0), Ox ekseni üzerindedir. (Ox eksenine teğettir.)
r = 0 ve tepe noktası T(0,k), Oy ekseni üzerindedir. (Oy ekseni simetri eksenidir.)
Burada 
r = 0 ve k = 0 ise tepe noktası T(0, 0) orijindedir.
SORU 3
Şekildeki parabolün denklemi f(x) = x2 + bx + c olduğuna göre, f(x) in alabileceği en büyük değer nedir?




A) 3 B)  C)  D)  E) 
Çözüm :
y = - x2 + bx + c parabolü eksenleri (0, 2) ve (2, 0) noktalarında kestiğinden,
x = 0 için y = c = 2
x = 2 için y = - 4 + 2b + 2 = 0 b = 1 olur.
Buradan parabolün denklemi y = - x2 + x + 2 olarak bulunur. O halde f(x) = - x2 + x + 2 nin alabileceği en büyük değer,

Cevap: B
SORU 4
Şekildeki parabolün denklemi y = x2 – 2x + c ve |OB| = 3|AO| olduğuna göre c kaçtır?
A) – 5 B) – 4 C) – 3 D) – 2 E) –1










Çözüm :
Parabolün Ox eksenini kestiği noktalar A ve B nin apsisleri sırasıyla x1 ve x2 olsun. |AO| = m denirse |OB| = 3m olur. Buradan x1 = -m, x2 = 3m olacağından,

Cevap: C
SORU 5
Şekildeki parabolün denklemi y = mx2 + (m-2) x-2 ve |AB| = 3 birim ise m kaçtır?
A)  B)  C) 1 D) 2 E) 3







Çözüm 1:
Y = mx2 + (m-2)x – 2) = 0
 x = -1 veya 
olduğundan A(-1,0) ve 
O halde,
|AB| = |AO| + |OB| = 31 +
 m = 1 dir.
Cevap: C

Çözüm 2:
Parabolün Ox eksenini kestiği noktalar, A ve B sırasıyla x1 ve x2 olsun.
|AB|=|x2 – x1|  3 =
 
 
a = m > 0 olduğundan,
 m + 2 = 3m
 m = 1 dir.
Cevap: C
SORU 6














Yukarıdaki parabolün denklemi
y = f(x) = x2 + bx + c ise f(1) değeri kaçtır?
A) 1 B) 0 C) – 2 D) – 4 E) – 5
Çözüm:












Ayrıca parabolün Oy eksenini kestiği noktanın ordinatı 3 olduğundan c = 3 olur. O halde, f(x) = x2 + bx + c  f(x) = x2 – 8x + 3 ve f(1) = -4 tür.
Cevap: D
SORU 7








Yukarıdaki şekle göre AB uzunluğu kaç birimdir?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
Çözüm:
y = 
y = - x2 + 2x + m + 1 parabolleri Oy eksenini aynı noktada kestikleri için,
2m – 1 = m + 1  m = 2 olur. Bu değeri parabollerin denklemlerinde yerine yazarak Ox eksenini kesim noktaları bulalım.
y = 
 y = x2 + 4x + 3 = 0
 x = -3 veya x = -1
 A(-3, 0) olur.
y = - x2 + 2x + m + 1 y = - x2 + 2x + 3 = 0
 x = -1 veya x = 3
 B(3, 0) bulunur.
O halde |AB| = 3 – (-3) = 6 birimdir.
Cevap: E
SORU 8
Aşağıdaki şekilde tepe noktası T olan y = x2 + 2mx + 5m + 2 parabolü verilmiştir. |OC| = 3|OB| olup A, B ve C noktalarının apsisleri çarpımı –24 tür. Bu parabolün Oy eksenini kestiği noktanın ordinatı nedir?








A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12
Çözüm :
|OB| = r denilirse |OC| = 3r olur. A nın pasisi de a olsun. Buradan A(a,0), B(r,0) ve C(3r, 0) elde edilir.
x = r doğrusu simetri ekseni olduğuna göre

olduğundan m = 2 bulunur. Parabolün Oy eksenini kestiği noktanın ordinatı,
5m + 2 5.2 + 2 = 12 dir.
Cevap: E
SORU 9
Yandaki şekilde tepe noktası T olan y = ax2 + bx + c parabolü verilmiştir.







Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) b2<4ac B) a<0 C) b>0 D) c<0 E) ab + c > 0
Çözüm :
Parabol Ox eksenini kesmediğinden ( = b2 – 4ac < 0  b2 <4ac,
Parabolün kolları Oy ekseninin negatif yönünde olduğundan a < 0,
Parabolün tepe noktasının apsisi 
Parabolün Oy eksenini kestiği nokta (0, c) ve c < 0,
a <0,b> 0 ve c < 0 olduğundan ab + c < 0 dır.
Cevap: E
SORU 10
Y = x2 + 3mx + 2m2 + 1 parabolü Ox eksenine, eksenin pozitif tarafından teğet ise bu parabolün Oy eksenini kestiği noktanın ordinatı nedir?
A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11
Çözüm :
Parabol Ox eksenine, eksenin pozitif tarafında teğet olduğuna göre,
( = 0 ve tepe noktasının apsisi r > 0 dır.
O halde,
( = (3m)2 –4.1. (2m2+1) = 0
 m2 –4 = 0
 m = 2 veya m = - 2 ve
ve 
 m = -2 olur.
Bu parabolün Oy eksenini kestiği noktanın ordinatı ise c = 2m2 + 1 c = 2. (-2)2 + 1 = 9 dur.
Cevap: C
SORU 11
Aşağıdaki şekilde T tepe noktası Ox ekseni üzerinde olan y =- x2 – mx + 2m + 4 parabolü verilmiştir.







A noktasının apsisi nedir?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Çözüm :
Parabol Ox eksenine teğet olduğundan,
( = (-m)2 – 4.(-1).(2m + 4) = 0 (m + 4)2 = 0
 m = -4
değeri parabolün denkleminde yerine yazılırsa,
y = - x2 – mx + 2m + 4  y = -x2 + 4x – 4
y = - (x-2)2 olur.
Parabolün tepe noktası T(2,0) ve x = 2 doğrusu simetri eksenidir. O halde A nın apsisi 4 bulunur.
Cevap: D













Parabolün Denklemini Bulma:
y = ax2 + bx + parabolü üzerindeki herhangi üç nokta biliniyorsa, bu noktalar parabolün denkleminde yerine yazılarak a, b ve c kat sayıları elde edilir ve para bolün denklemi bulunur.
Örnek:
Yandaki şekilde verilen parabolün denklemini bulalım. Parabol üzerindeki noktalar,
Y = ax2 + bx + c parabol denkleminde yerine yazılırsa,
İKİ TANE ŞEMA ÇİZİLECEK.
A(-1,5) için a – b + c = 5
B(2,5) için 4a + 2b + c = 5
C(1,3) için a + b + c = 3 denklemleri elde edilir. Ortak çözüm yapılırsa,
a = 1, b = -1 ve c = olur. O halde,
y = ax2 + bx + c y = x2 – x + 3 tür.
Parabol üzerindeki herhangi bir nokta ile parabolün Ox eksenini kestiği noktalar biliniyorsa, parabolün denklemi,
Y = a(x – x1) (x – x2) ifadesi kullanılarak bulunur.
ŞEMA ÇİZİLECEK
Örnek :
Yandaki şekilde verilen parabolün denklemini bulalım. Parabolün Ox eksenini kestiği noktaların apsisleri
x1 = -1 ve
x2 = 2 olduğundan,
y = a(x – x1) (x – x2) ifadesinden
y = a (x + 1) (x – 2) elde edilir. Burada a yı bulmak için parabol üzerindeki
elde edilen parabol denkleminde yerine yazılırsa,
x = -2 için y = 

3. Parabol üzerindeki herhangi bir nokta ile parabolün tepe noktası biliniyorsa, bu parabolün denklemi, y = a(x-r)2 + k ifadesi kullanılarak bulunur.
ŞEKİL ÇİZİLECEK.
Örnek:
Yandaki şekilde verilen tepe noktası T olan parabolün denklemini bulalım. Parabolün tepe noktasının koordinatları r = -1 ve k = 4
Olduğundan,
y = a(x – r)2 + k ifadesinden y = a(x + 1)2 + 4 elde edilir. Burada a yı bulmak için parabol üzerindeki (0,3) noktası, elde edilen parabol denkleminde yerine yazılırsa,
x = 0 için y = 3 = a(0 + 1)2 + 4
 a = -1 ve y = - (x + 1)2 + 4 tür.
ŞEKİL ÇİZİLECEK.
SORU 13
Yandaki şekilde tepe noktası T olan y = f(x) parabolü orijinden geçtiğine göre, f(5) kaçtır?
A) – 6 B) – 5 C) – 4 D) – 3 E) – 2
Çözüm :
Parabolün Ox eksenini kestiği noktaların apsisleri x1 = 0 ve x2 = 4 olduğundan,
y = a (x – x1) (x – x2)  y = ax (x – 4) ve parabolün tepe noktasının apsisi de

Ayrıca T(2,4) noktası parabolün denkleminde yerine yazılırsa,
x = 2 için y = 4 = 1.2. (2 – 4)
 a = -1 ve f(x) = - x (x – 4) bulunur.
O halde f(5) = -5. (5 – 4) = - 5 tir.
Cevap: B
ŞEKİL ÇİZİLECEK.
SORU 14
Yandaki şekilde tepe noktası T(-2, -1) olan parabol verilmiştir. ATB üçgeninin alanı kaç birim karedir?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Çözüm :
Parabolün tepe noktasının koordinatları r = -2 ve k = -1 olduğundan,
y = a(x-r)2 + k  y = a (x+2)2 –1 olur.
Ayırca (0,3) noktası parabolün denkleminde yerine yazılırsa,
x = 0 için y = 3 = a(0 + 2)2 – 1 bulunur. O halde, parabolün eksenleri kesim noktalarını bulalım.
y = (x + 2)2 –1 = 0  x2 + 4x + 3 = 0
 x = - 3 veya x = -1
 A(-3, 0) ve B (-1,0) olduğundan,

Cevap: A
ŞEKİL ÇİZİLECEK
Bir Parabolle Bir doğrunun Birbirine Göre Durumu :
Denklemi y = ax2 + bx + c olan bir parabolle, denklemi y = mx + n olan doğrunun birbirine göre durumunu incelemek için bu denklemler ortak çözülür.

şeklinde ikinci dereceden bir denklem elde edilir. Bu denklemde:
( > ise ,
Parabol ile doğru farklı iki noktada kesişirler.
ax2 + (b-m) x + c – n = 0 denkleminin kökleri olan x1 ile x2 bu iki kesim noktalarının apsisleridir.
ŞEKİL ÇİZİLECEK
Örnek :

olduğundan parabol ile doğru farklı iki noktada kesişir. Bulunan kökler, parabol veya doğrunun denkleminde yerine yazılarak kesim noktalarının ordinatları bulunur.
ŞEKİL ÇİZİLECEK
( = 0 ise,
Doğru, parabole teğettir. ax2 + (b-m)x + c – n = 0 denkleminin iki kat kökü (x1 = x2), doğrunun parabole teğet olduğu noktanın apsisidir.
ŞEKİL ÇİZİLECEK.
Örnek :
y = x2 – x + 1 parabolü ile y = x doğrusunun birbirine göre durumunu inceleyelim.

Olduğundan doğru, parabole teğettir. Bu noktanın ordinatını bulalım.
y = x de x = 1 için y = 1 dir.
ŞEKİL ÇİZİLECEK
( < ise,
Parabol ile doğrunun ortak noktası yoktur.
ŞEKİL ÇİZİLECEK
Örnek :
y = - x2 + 2x – 3 parabolü ile y = x + 1 doğrusunun birbirine göre durumunu inceleyelim.

olduğundan parabol ile doğrunun ortak noktası yoktur.
ŞEKİL ÇİZİLECEK
İki Parabolün Birbirine Göre Durumu:
Denklemleri y 0 ax2 + bx + c ve y = px2 + qx + r olan iki parabolün birbirine göre durumunu incelemek için iki parabolün denklemi ortak çözülür.
a = p ve b q ise,
İki parabol tek noktada kesişir.

denkleminin kökü parabollerin kesim noktasının apsisidir.
ŞEKİL ÇİZİLECEK
Örnek :
y = x2 – x + 3 parabolü ile y = x2 – 3x + 5 parabolünün birbirine göre durumunu inceleyelim.

olduğundan paraboller tek noktada kesişir. Bu noktanın ordinatını bulalım.
y = x2 – x + 3 ve x = 1 için 3 tür.
ŞEKİL ÇİZİLECEK
a p ise,
İki parabolün birbirine göre üç durumu vardır. Bu durumlar incelenirken takip edilecek yol, bir parabol ile bir doğrunun birbirine göre durumunun incelenmesinde izlenen yol ile aynıdır.
Örnek :
y = 2x2 parabolü ile y = x2 + x + 2 parabolünün birbirine göre durumunu inceleyelim.

olduğundan paraboller iki noktada kesişir. Bu noktaların ordinatlarını bulalım.
y = 2x2 de x1 = -1 için y1 = 2
x2 = 2 için y2 = 8 dir.
ŞEKİL ÇİZİLECEK.
Örnek:
y = x2 – 4x + 4 parabolü ile y = -x2 + 2 parabolünün birbirine göre durumunu inceleyelim.

olduğundan paraboller teğettir. Bu noktanın ordinatını bulalım.
y = -x2 + 2 de x = 1 için y = 1 dir.
ŞEKİL ÇİZİLECEK
Örnek :
y = 2x2 + 1 parabolü ile y = x2 parabolünün birbirine göre durumunu inceleyelim.

olduğundan parabollerin ortak noktaları yoktur.
ŞEKİL ÇİZİLECEK
SORU 15
Yandaki şekilde parabolün tepe noktası T olduğuna göre, A noktasının apsisi nedir?
A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3
ŞEKİL ÇİZİLECEK.
Çözüm :
y = x + 1 doğrusunun Ox eksenini kestiği noktanın apsisi,
y = 0 = x + 1 x1 = -1 dir.
ŞEKİL ÇİZİLECEK

parabolün denklemi,
y = a(x-x1)(x-x2) den y = a(x+1)(x-3) ve burada (0, -3) noktası yerine yazılırsa x = 0 için y = -3 = a (0+1)(0-3)a = 1 olduğundan y = (x+1)(x-3) = x2 – 2x – 3 bulunur. Parabol ile doğrunun denklemini ortak çözelim.

O halde A nın apsisi 4 tür.
SORU 16
Yandaki şekilde y = 2x + n doğrusu, tepe noktası Oy ekseni üzerinde olan y = mx2 – m2x + x – 4m parabolüne teğettir. Buna göre, n kaçtır?
A) –5 B) –6 C) – 7 D) – 8 E) – 9
Çözüm :
Y = mx2 + (1-m) x – 4m parabolünün tepe noktası Oy ekseni üzerinde olduğundan,
1-m2 = 0  m = -1 veya m = 1 olur. Parabolün kolları Oy ekseninin pozitif yönünde olduğundan m = 1 ve y = x2 – 4 tür. O halde parabol ile doğrunun denklemlerini ortak çözelim.

ve doğru parabole teğet olduğundan,
( = (-2)2 – 4.1.(-4 - n) = 0 n = -5 dir.
Cevap: A
SORU 17
Y = -x2 – x + 2 parabolünün y = - 2x + 3 doğrusuna en yakın noktasının ordinatı nedir?
A)  B)  C)  D)  E) 
Çözüm :
Parabol üzerindeki A noktası y = -2x + 3 doğrusuna en yakın nokta olsun. Parabolün A noktasındaki teğeti y = -2x + 3 doğrusuna paralel olacağından denklemi, y = -2x + n şeklindedir. Bu denklem, parabolün denklemi ile ortak çözülürse,

ve doğru, parabole teğet olduğundan kökler çakışır (( = 0) olmalıdır.
O halde,
x1 = x2 =  köklü A noktasının apsisidir. Bu noktanın ordinatı,
y = -x2 – x + 2 de

SORU 18
Y = 2x2 + 6x + m parabolü ile y = x2 + 2x – m parabolü birbirine teğet ise değme noktasının apsisi ile m nin toplamı nedir?
A) –3 B) –2 C) –1 D) 0 E) 1
Çözüm :
Parabollerin denklemleri ortak çözelim.

ve iki parabol teğet olduğundan,
( = 42 – 4.1. 2m = 0  m = 2 olur. Bu değer yukarıda elde edilen denklemlerde yerine yazılırsa,
x2 + 4x + 2m = 0  x2 + 4x + 4 = 0
x1 = x2 = -2 değme noktasının apsisidir. O halde –2 + 2 = 0
Cevap: D
SORU 19
ŞEKİL ÇİZİLECEK
Yukarıdaki şekilde f(x) = mx2 – 8x + 8m + 8 parabolü ile g(x) = - x2 + (3m + 4) x – 5m – 1 parabolleri verilmiştir. A noktasının apsisi nedir?
A)  B) 6 C)  D) 7 E) 8
Çözüm :
Paraboller x = 2 doğrusu üzerinde kesiştiğine göre,

Bu değeri parabollerin denkleminde yerine yazarak denklemleri ortak çözelim.

Cevap: A
SORU 20
m nin değişen değerleri için,
f(x) = (m + 1) x2 + (m + 2) x – 2m 1 parabolleri ile g(x) = mx2 + 3mx – m2 parabolleri veriliyor. f(x) ve g(x) parabol çiftleri için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
Farklı iki noktada kesişirler.
Teğettirler.
Tek noktada kesişirler.
Ortak noktaları yoktur.
Çakışıktırlar.
Çözüm :

olduğundan teğettirler.
Cevap: B








Döküman Arama

Başlık :